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因式定理是寻找多项式简单线性因式的快速方法。因式定理指出，如果 \(f(x)\) 是一个多项式，那么：
因式定理（Factor Theorem）：如果 \(f(x)\) 是一个多项式，那么：
• 如果 \(f(p) = 0\)，则 \((x - p)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式
• 如果 \((x - p)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式，则 \(f(p) = 0\)
• 如果 \(f\left(\frac{b}{a}\right) = 0\)，则 \((ax - b)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式
• 如果 \((ax - b)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式，则 \(f\left(\frac{b}{a}\right) = 0\)
使用因式定理分解三次函数的步骤：
1. 代入数值到函数中，直到找到使函数值为0的 \(p\) 值
2. 用函数除以 \((x - p)\)
3. 写出 \(g(x) = (x - p)(ax^2 + bx + c)\)，另一个因式是二次的
4. 如果可能，分解二次因式，将 \(g(x)\) 写成三个线性因式的乘积
题目：证明 \((x - 2)\) 是 \({x}^{3} + {x}^{2} - {4x} - 4\) 的因式：
a) 代数除法：
用 \({x}^{3} + {x}^{2} - {4x} - 4\) 除以 \((x - 2)\)：
\(x - 2\overline{){x}^{3} + {x}^{2} - {4x} - 4}\)
\(\frac{{x}^{3} - 2{x}^{2}}{3{x}^{2} - {4x}}\)
\(\frac{3{x}^{2} - {6x}}{{2x} - 4}\)
\(\frac{{2x} - 4}{0}\)
余数为0，所以 \((x - 2)\) 是 \({x}^{3} + {x}^{2} - {4x} - 4\) 的因式。
b) 因式定理：
令 \(f(x) = {x}^{3} + {x}^{2} - {4x} - 4\)
\(f(2) = {(2)}^{3} + {(2)}^{2} - 4(2) - 4\)
\(= 8 + 4 - 8 - 4\)
\(= 0\)
因为 \(f(2) = 0\)，根据因式定理，\((x - 2)\) 是 \(f(x)\) 的因式。
题目：已知 \((x + 1)\) 是 \(4{x}^{4} - 3{x}^{2} + a\) 的因式，求 \(a\) 的值。
解答：
令 \(f(x) = 4{x}^{4} - 3{x}^{2} + a\)
因为 \((x + 1)\) 是 \(f(x)\) 的因式，所以 \(f(-1) = 0\)
\(f(-1) = 4{(-1)}^{4} - 3{(-1)}^{2} + a = 0\)
\(4(1) - 3(1) + a = 0\)
\(4 - 3 + a = 0\)
\(1 + a = 0\)
\(a = -1\)
题目：已知 \((2x - 3)\) 是 \(f(x) = p{x}^{3} + {x}^{2} - {19x} + p\) 的因式：
a) 求 \(p\) 的值
b) 因此完全分解 \(f(x)\)
解答：
a) 因为 \((2x - 3)\) 是 \(f(x)\) 的因式，所以 \(f\left(\frac{3}{2}\right) = 0\)
\(p{\left(\frac{3}{2}\right)}^{3} + {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2} - 19\left(\frac{3}{2}\right) + p = 0\)
\(p\left(\frac{27}{8}\right) + \frac{9}{4} - \frac{57}{2} + p = 0\)
\(p\left(\frac{27}{8} + 1\right) = \frac{57}{2} - \frac{9}{4}\)
\(p\left(\frac{35}{8}\right) = \frac{105}{4}\)
\(p = 6\)
b) 现在用 \(6{x}^{3} + {x}^{2} - {19x} + 6\) 除以 \((2x - 3)\)：
商为 \(3{x}^{2} + {5x} - 2\)
分解二次式：\(3{x}^{2} + {5x} - 2 = (x + 2)(3x - 1)\)
因此：\(f(x) = (2x - 3)(x + 2)(3x - 1)\)
使用因式定理时，要确保正确代入数值。对于因式 \((ax - b)\)，应该代入 \(x = \frac{b}{a}\) 而不是 \(x = \frac{a}{b}\)。此外，因式定理只能检验线性因式，对于二次或更高次的因式需要使用其他方法。
通过本节的学习，你应该能够：